Cho phương trình x^2 - (m - 3)x - 5 = 0, m là tham số. Tìm m

Δ = (–m + 3)² – 4.(–5) = m² – 6m + 9 + 20 = m² – 6m + 29 = (m – 3)² + 20 > 0

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là các số nguyên thì trước hết Δ phải là một số chính phương.

Giả sử (m – 3)² + 20 = k² với k nguyên

⇒ k² – (m – 3)² = 20

⇔ (k – m – 3)(k – m + 3) = 20

Do (k – m – 3) + (k – m + 3) = 2k chẵn nên chúng cùng tính chẵn lẻ.

Mà 20 là số chẵn nên (k – m – 3) + (k – m + 3) cùng là số chẵn

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}k - m + 3 = 10\\k + m - 3 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}k - m + 3 = 2\\k + m - 3 = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 7\end{array} \right.\).