Cho phương trình x^2 − 4x + 2m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1^2 + (x1 + x2)x2 = 4m^2 + 3.

\({x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\)

\(\Delta ' = {2^2} - (2m + 1) = 3 - 2m\)

Để có 2 nghiệm phân biệt: \(\Delta ' > 0\)\( \Rightarrow 3 - 2m > 0\)\( \Rightarrow m < \frac{3}{2}\).

Theo Vi-ét: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}{x_2} = 2m + 1\).

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3\)

\(x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 = 4{m^2} + 3\)\( \Rightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)

\({4^2} - (2m + 1) = 4{m^2} + 3\)\( \Rightarrow 15 - 2m = 4{m^2} + 3\)

\(4{m^2} + 2m - 12 = 0\)\( \Rightarrow 2{m^2} + m - 6 = 0\)

\(\left( {m + 2} \right)\left( {2m - 3} \right) = 0\)

\(\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\,(TM)\\m = \frac{3}{2}\,(KTM)\end{array} \right.\) 

Vậy \(m =  - 2\).