Cho phương trình x^2 − 4x + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức P = (x1^2 + x2^2)(x2^3 + 6x1 − 3 − 12x1 − 1).

Phương trình \[{x^2} - 4x + 2 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\]

Nên \[x_1^2 - 4{x_1} + 2 = 0\] và \[x_2^2 - 4{x_2} + 2 = 0 \Rightarrow x_2^2 = 4{x_2} - 2\]

Lại có \[x_2^2 - 4{x_2} + 2 = 0 \Rightarrow 4x_2^2 - 16{x_2} + 8 = 0\]\[ \Rightarrow 4x_2^2 - 2{x_2} = 14{x_2} - 8\] (*)

Áp dụng định lí Viète có: \[{x_1} + {x_2} = 4\] và \[{x_1}{x_2} = 2\]

\[P = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {\frac{{x_2^3 + 6}}{{{x_1} - 3}} - \frac{{12}}{{{x_1} - 1}}} \right)\]

\[P = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\left( {\frac{{{x_2}\left( {4{x_2} - 2} \right) + 6}}{{{x_1} - 3}} - \frac{{12}}{{{x_1} - 1}}} \right)\]

\[P = \left[ {{4^2} - 2.2} \right]\left( {\frac{{4x_2^2 - 2{x_2} + 6}}{{{x_1} - 3}} - \frac{{12}}{{{x_1} - 1}}} \right)\]

Thay (*) ta có:

\[P = 12.\left( {\frac{{14{x_2} - 2}}{{{x_1} - 3}} - \frac{{12}}{{{x_1} - 1}}} \right)\]

\[P = 12.\frac{{\left( {14{x_2} - 2} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) - 12\left( {{x_1} - 3} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}\]

\[P = 12.\frac{{14{x_1}{x_2} - 14{x_2} - 2{x_1} + 2 - 12{x_1} + 36}}{{x_1^2 - 4{x_1} + 3}}\]

\[P = 12.\frac{{14{x_1}{x_2} - 14{x_2} - 14{x_1} + 38}}{{x_1^2 - 4{x_1} + 2 + 1}}\]

\[P = 12.\frac{{14.2 - 14.4 + 38}}{1}\]

\[P = 120\]

Vậy \[P = 120\]