Cho phương trình x^2 − 4(m − 1)x − m = 0. Biết rằng phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 = 1/x1 + 1/x2. Tính giá trị của biểu thức A =( x1 − 1)/x2 + (x2 − 1)/x1.

Ta có phương trình: \({x^2} - 4(m - 1)x - m = 0\).

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left[ { - 4\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.1.( - m)\)

\( = 16({m^2} - 2m + 1) + 4m\)

\( = 16{m^2} - 32m + 16 + 4m\)

\(\begin{array}{l} = 16{m^2} - 28m + 16\\ = \left( {16{m^2} - 2.4m.\frac{7}{2} + \frac{{49}}{4}} \right) + \frac{{15}}{4}\end{array}\)

\( = {\left( {4m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) (với mọi giá trị \(m \in \mathbb{R})\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 4(m - 1)}\\{{x_1}{x_2} =  - m}\end{array}} \right.\)

Điều kiện đề bài: \({x_1}{x_2} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} \Rightarrow  - m = \frac{{4(m - 1)}}{{ - m}} \Rightarrow {m^2} = 4m - 4 \Rightarrow {(m - 2)^2} = 0 \Rightarrow m = 2\) (thỏa mãn).

Với \(m = 2\): \({x_1} + {x_2} = 4(2 - 1) = 4\) và \({x_1}{x_2} =  - 2\).

Tính biểu thức \(A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1}}}\).

\(A = \frac{{{x_1}({x_1} - 1) + {x_2}({x_2} - 1)}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{x_1^2 - {x_1} + x_2^2 - {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\(A = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Thay số: \(A = \frac{{{4^2} - 2( - 2) - 4}}{{ - 2}} = \frac{{16 + 4 - 4}}{{ - 2}} = \frac{{16}}{{ - 2}} =  - 8\).

Vậy \(A =  - 8\).