Cho phương trình x^2 + 4(m - 1)x - 12 = 0 với m là tham số.
a) Với \(m = 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) trở thành:
\({x^2} + 4x - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 2x - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x + 6} \right) - 2\left( {x + 6} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6 = 0}\\{x - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 6}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
Vậy với \(m = 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 6;2} \right\}\).
b) Phương trình \(\left( * \right)\) có \(a.c = 1.\left( { - 12} \right) = - 12 < 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 4m + 4}\\{{x_1}.{x_2} = - 12}\end{array}} \right.\) \(\left( 1 \right)\)
Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) nên ta có: \(x_2^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_2} - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow x_2^2 + 4m{x_2} - 4{x_2} - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow x_2^2 + 4\left( {m{x_2} - 4} \right) - 4{x_2} + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {4 - m{x_2}} \right) = x_2^2 - 4{x_2} + 4\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {4 - m{x_2}} \right) = {\left( {{x_2} - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2.\sqrt {4 - m{x_2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 2.\sqrt {4 - m{x_2}} = \left| {{x_2} - 2} \right|\) \(\left( 2 \right)\)
Mà theo bài có: \(4\left| {{x_1} - 2} \right|.\sqrt {4 - m{{\rm{x}}_2}} = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\) \(\left( 3 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\),\(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được: \(2.\left| {{x_1} - 2} \right|.\left| {{x_2} - 2} \right| = {\left( { - 4m + 4 + 12 - 8} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2.\left| {\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right)} \right| = {\left( {8 - 4m} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2.\left| {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right| = {4^2}.{\left( {2 - m} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2.\left| { - 12 - 2\left( { - 4m + 4} \right) + 4} \right| = 16{\left( {m - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2.\left| { - 16 + 8m} \right| = 16{\left( {m - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 16.\left| {m - 2} \right| = 16{\left( {m - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = {\left( {m - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^4}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - {\left( {m - 2} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2}.\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 1} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {m - 2} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 2 = 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 2 = 0}\\{m - 2 = 1}\\{m - 2 = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = 3}\\{m = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).
rrow {x^2} + 1000x - 750000 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 1500x - 500x - 750000 = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1500} \right) - 500\left( {x + 1500} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 1500} \right)\left( {x - 500} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1500 = 0}\\{x - 500 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1500\left( {ktm} \right)}\\{x = 500\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần \(\frac{{12000}}{{500}} = 24\) (giờ) để xét nghiệm xong.