Cho phương trình x^2 − ( 4 m − 1 ) x + 3 m^2 − 2 m = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1^2 + x2^2= 7 .

Phương trình \[{x^2} - \left( {4m - 1} \right)x + 3{m^2} - 2m = 0\] có \[\Delta = {\left[ { - \left( {4m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {3{m^2} - 2m} \right)\].

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0\].

Suy ra \[{\left[ { - \left( {4m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {3{m^2} - 2m} \right) > 0\] hay \[4{m^2} + 1 > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m - 1\\{x_1}{x_2} = 3{m^2} - 2\end{array} \right.\].

Theo đề, có: \[x_1^2 + x_2^2 = 7\] suy ra \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 7\]

Suy ra \[{\left( {4m - 1} \right)^2} - 2\left( {3{m^2} - 2} \right) = 7\] hay \[10{m^2} - 8m - 2 = 0\] hay \[\left( {m - 1} \right)\left( {10m + 2} \right) = 0\].

Do đó \[m = 1\] (thỏa mãn) hoặc \[m = - \frac{1}{5}\] (thỏa mãn).

Vậy \[m \in \left\{ {1; - \frac{1}{5}} \right\}\].