Cho phương trình x^2 − 3x + 2m − 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn căn bậc hai của x1 = 2 căn bậc hai của x2.

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\).

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {2m - 1} \right) = 9 - 8m + 4 = 13 - 8m\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì \(\Delta  \ge 0 \Rightarrow 13 - 8m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{13}}{8}\).

 b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}}  = 2\sqrt {{x_2}} \)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}}  = 2\sqrt {{x_2}} \) cần điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\{x_1} \ge 0;{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn\({x_1} \ge 0;{x_2} \ge 0\) khi \({x_1}.{x_2} = 2m - 1 \ge 0\) hay \(m \ge \frac{1}{2}\)

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {{x_1}}  = 2\sqrt {{x_2}} \) ta có \({x_1} = 4{x_2}\) hay \({x_1} - 4{x_2} = 0\)

Kết với với định lí Viete ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1} - 4{x_2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{12}}{5}\\{x_2} = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)(thỏa mãn \({x_1} \ge 0;{x_2} \ge 0\))

Lại có \({x_1}.{x_2} = 2m - 1\)

\(\frac{{12}}{5}.\frac{3}{5} = 2m - 1\)

\(2m = \frac{{61}}{{25}}\)

\(m = \frac{{61}}{{50}}\)(thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m = \frac{{61}}{{50}}\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}}  = 2\sqrt {{x_2}} \).