Cho phương trình x^2 − 2x + m − 1 = 0 (1) (x là ẩn, tham số m). a) Giải phương trình (1) với m = −7.

a) Khi \(m = - 7,\) phương trình trở thành: \({x^2} - 2x - 8 = 0.\)

Ta có \(\Delta \prime = {\left( { - 1} \right)^2} - 1\left( { - 8} \right) = 9 > 0,\) suy ra \(\sqrt {\Delta \prime } = 3.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{1 + 3}}{1} = 4;\) \({x_2} = \frac{{1 - 3}}{1} = - 2.\)

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta \prime > 0\) tức là \(1 - \left( {m - 1} \right) > 0\), suy ra \(2 - m > 0\) nên \(m < 2.\)

Theo định lý Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\) và \({x_1}{x_2} = m - 1.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của (1) nên: \(x_1^2 - 2{x_1} + m - 1 = 0,\) suy ra \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 1.\)

Tương tự, ta cũng có \(x_2^2 = 2{x_2} - m + 1.\)

Thay \(x_1^2;\,\,x_2^2\) vào hệ thức đề cho:

\(x_1^2 + 2x_2^2 + 2{x_1} + {m^2} = 9\)

\(\left( {2{x_1} - m + 1} \right) + 2\left( {2{x_2} - m + 1} \right) + 2{x_1} + {m^2} = 9\)

\[4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 2 + {m^2} - m + 1 = 9\]

Thay \({x_1} + {x_2} = 2\) vào:

\(8 - 3m + 3 + {m^2} = 9\)

\({m^2} - 3m + 2 = 0\)

Phương trình trên có 2 nghiệm là \(m = 1\) và \(m = 2.\)

Đối chiếu điều kiện \(m < 2,\) ta chỉ nhận \(m = 1.\)

Vậy \(m = 1.\)