Cho phương trình x^2 - 2(m + 2)x + m^2 + 3m - 2 = 0 (1) với m là tham số.(a) Giải phương trình (1) khi m = 3

a) Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 10x + 16 = 0\].

Ta có: \[{x^2} - 10x + 16 = 0\] hay \[{x^2} - 2x - 8x + 16 = 0\] suy ra \[x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0\],

Do đó \[\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\] nên \[x = 2\] hoặc \[x = 9\].

b) Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\].

Ta có: \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 = m + 6 > 0\] suy ra \[m > - 6\].

Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\].

Ta có: \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\]

\[A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)\]

\[A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\]

\[A = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 2} \right)} \right]^2}\]

\[A = 2018 + {m^2} + 7m - 18\]

\[A = {m^2} + 7m + 2000\]

\[A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7591}}{4} \ge \frac{{7591}}{4}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[m + \frac{7}{2} = 0\] hay \[m = - \frac{7}{2}\] (thỏa mãn).

Vậy biểu thức \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{7591}}{4}\] khi \[m = - \frac{7}{2}\].