Cho phương trình x^2 - 2(m + 1)x + {m^2} - 4m + 3 = 0 (với m là tham số).(a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Theo đề, phương trình \[{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 4m + 3 = 0\] có:

\[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) = 6m - 2\].

a) Để phương trình có nghiêm thì \[\Delta \ge 0\] hay \[6m - 2 \ge 0\] suy ra \[m \ge \frac{1}{3}\].

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}6m - 2 > 0\\{m^2} - 4m + 3 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\\left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\].

Vậy \[\left[ \begin{array}{l}m > 3\\\frac{1}{3} < m < 1.\end{array} \right.\]

c) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\[ac < 0\] hay \[{m^2} - 4m + 3 < 0\] suy ra \[\left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) > 0\] do đó \[1 < m < 3.\]

d) Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương thì

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}6m - 2 > 0\\{m^2} - 4m + 3 > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\\left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\\m > - 1\end{array} \right.\].

Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}m > 3\\\frac{1}{3} < m < 1.\end{array} \right.\]

e) Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm thì

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}6m - 2 > 0\\{m^2} - 4m + 3 > 0\\2\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\\left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) > 0\\2\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\\m < - 1\end{array} \right.\].

Nhận thấy không có giá trị \[m\] thỏa mãn.