Cho phương trình x^2 - 2(m + 1)x - m^2 - 2m + 5 = 0 với (m) là tham số.
a) Thay \(m = 1\) vào phương trình (*) ta được:
\({x^2} - 2\left( {1 + 1} \right)x - {1^2} - 2\,.\,1 + 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy khi \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).
b) Ta có \[\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right)\]
\[ = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m - 5\]
\[ = 4m - 4\].
Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt x\({x_1},\,\,{x_2}\) thì xxx\[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 1\].
Ta có x\(\sqrt {4x_1^2 + 4m{x_1} + {m^2}} + \sqrt {x_2^2 + 4m{x_2} + 4{m^2}} = 7m + 2\)
xxx\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{x_1} + m} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 2m} \right)}^2}} = 7m + 2\)
xxx\( \Leftrightarrow \left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)
Áp dụng định lí Vi-et, ta có :
xxxxxx\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2 > 0\,\,({\rm{do}}\,\,m > 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall m\end{array} \right.\]
xxxxx\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} > 0\,\,\end{array} \right.\forall m > 1\]
xxx\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + m > 0\\{x_2} + 2m > 0\,\,\end{array} \right.\forall m\].
Khi đó, ta có:
xxxx\(\left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)
xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + m + {x_2} + 2m = 7m + 2\)
xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} + 3m = 7m + 2\)
xxxx\( \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = 4m + 2\)
xx\( \Leftrightarrow 2m + 2 + {x_1} = 4m + 2\)
xxxx\( \Leftrightarrow {x_1} = 2m\)
xxxxx\[ \Rightarrow {x_2} = 2m + 2 - {x_1} = 2\]
xxxx\[ \Rightarrow {x_1}{x_2} = 4m = {m^2} - 2m + 5\]
xxxx\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0\] xxxxx\(\left( {**} \right)\)
Ta có xxxx\(a + b + c = 1 + ( - 6) + 5 = 0\) nên phương trình xx\(\left( {**} \right)\) có hai nghiệm phân biệt xxxx\(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = 1\,\,{\rm{(KTM)}}\\{m_2} = 5\,\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\).
Vậy để xxx\(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì xxxx\(m = 5\).