Cho phương trình x^2 − 2(m + 1)x + m^2 − 2m + 3 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn.

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 3 = 0\,\,(1)\)

\(\Delta ' = {\left[ { - (m + 1)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 2m + 3} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m - 3 = 4m - 2\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 3\quad \quad (2)}\end{array}} \right.\]

0,25

Theo bài ra, ta có: \(\sqrt {x_1^2 + 2m{x_1} + {m^2}}  + \sqrt {4x_2^2 + 4m{x_2} + {m^2}}  = 6m + 2\)

\(\sqrt {{{\left( {{x_1} + m} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2{x_2} + m} \right)}^2}}  = 6m + 2\)

\(\left| {{x_1} + m} \right| + \left| {2{x_2} + m} \right| = 6m + 2\)   (3)

0,25

Vì  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2 > 0\,\,\,\left( {{\rm{do }}m > \frac{1}{2}} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 3 = {{\left( {m - 1} \right)}^2} + 2 > 0\,\,\forall m\;\;\;}\end{array}} \right.\]     \[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array}\,\,\,\,\forall m > \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + m > 0}\\{2{x_2} + m > 0}\end{array}\,\,\,\,\,\forall m} \right.} \right. > \frac{1}{2}\]

 (3) trở thành:  \({x_1} + m + 2{x_2} + m = 6m + 2\)

\[\begin{array}{l}{x_1} + 2{x_2} = 4m + 2\\2m + 2 + {x_2} = 4m + 2\\{x_2} = 2m\\{x_1} = 2m + 2 - {x_2} = 2m + 2 - 2m = 2\end{array}\]

0,25

Thay x1 = 2 ; x2 = 2m vào (2) ta được: 

 \[\begin{array}{l}2.2m = {m^2} - 2m + 3\\{m^2} - 6m + 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3 - \sqrt 6  > \frac{1}{2}(t/m)\\m = 3 + \sqrt 6  > \frac{1}{2}(t/m)\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy \(m = 3 \pm \sqrt 6 \) thoả mãn yêu cầu bài toán

0,25