Cho phương trình x^2 − 2 x + m − 3 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1^3.x2 + x1.x2^3 = − 6 .

Phương trình \[{x^2} - 2x + m - 3 = 0\] có \[\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - m + 3 = - m + 4\].

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\] hay \[ - m + 4 > 0\] suy ra \[m < 4\].

Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\].

Ta có: \[x_1^3{x_2} + {x_1}x_2^3 = - 6\] hay \[{x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = - 6\].

Suy ra \[{x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = - 6\]

Suy ra \[\left( {m - 3} \right)\left( {{2^2} - 2m + 6} \right) = - 6\] hay \[\left( {m - 3} \right)\left( {10 - 2m} \right) = - 6\]

Suy ra \[ - 2{m^2} + 16m - 24 = 0\] hay \[{m^2} - 8m + 12 = 0\] hay \[\left( {m - 6} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\].

Do đó \[m = 6\] (loại) hoặc \[m = 2\](thỏa mãn).

Vậy \[m = 2\].