Cho phương trình x^2 + 2 ( m + 1 ) x + m^2 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng − 2 .

Phương trình \[{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} = 0\] có \[\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} = - 3{m^2} + 2m + 1\].

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\] hay \[ - 3{m^2} + 2m + 1 > 0\].

Suy ra \[\left( {1 - m} \right)\left( {1 + 3m} \right) > 0\].

Ta có: \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\1 + 3m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - m < 0\\1 + 3m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\] suy ra \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m > - \frac{1}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m < - \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\] do đó \[ - \frac{1}{3} < m < 1\].

Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2}\end{array} \right.\].

Theo đề bài, phương trình có một nghiệm bằng \[ - 2\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l} - 2 + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\ - 2{x_2} = {m^2}\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 2m\\ - 2{x_2} = {m^2}\end{array} \right.\].

Thay \[{x_2} = - 2m\] vào \[ - 2{x_2} = {m^2}\], ta được: \[ - 2\left( { - 2m} \right) = {m^2}\] hay \[4m = {m^2}\]

Suy ra \[{m^2} - 4m = 0\] hay \[m\left( {m - 4} \right) = 0\] do đó \[m = 0\] (thỏa mãn) hoặc \[m = 4\](loại).

Vậy \[m = 0\].