Cho phương trình x^2 − 2 ( k − 1 ) x − 4k = 0 . Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn 3 x1 − x2 = 2 .

Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - 4k} \right) = {\left( {k - 1} \right)^2} + 4k = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(k \ne - 1\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) \( = 2k - 2\), \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4k\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_1} - {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} = 2k - 2\end{array} \right. \Rightarrow 4{x_1} = 2k \Rightarrow {x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\)

Thay\({x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\) vào \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = - 4k\), ta được

\(\frac{k}{2} \cdot \frac{{3k - 4}}{2} = - 4k \Leftrightarrow 3{k^2} + 12k = 0 \Leftrightarrow k = 0,k = - 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(k = 0,k = - 4\) là giá trị cần tìm.