Cho phương trình m x^2 − 2 ( m + 1 ) x + 3 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình: (a) Có hai nghiệm phân biệt. (b) Có nghiệm kép. (c) Vô nghiệm.

a) Để phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt thì

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\end{array} \right.\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \[m \ne 0\].

b) Để phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\end{array} \right.\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\] vô nghiệm.

Vậy không có giá trị \[m\] thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

c) Xét với \[m = 0\] thì ta có \[ - 2x + 3 = 0\] suy ra \[x = \frac{3}{2}\].

Do đó với \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm là \[x = \frac{3}{2}\].

Xét \[m \ne 0\], để phương trình vô nghiệm thì \[\Delta ' < 0\].

Ta có: \[{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m < 0\] suy ra \[{m^2} - m + 1 < 0\] hay \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} < 0\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó, không có giá trị \[m\] thỏa mãn để phương trình vô nghiệm.

d) Xét với \[m = 0\] thì ta có \[ - 2x + 3 = 0\] suy ra \[x = \frac{3}{2}\].

Do đó với \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm là \[x = \frac{3}{2}\].

Vậy với \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm.