Cho phương trình ( m − 2 ) x^2 − 2 ( m + 1 ) x + m = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình: (a) Có hai nghiệm phân biệt. (b) Có nghiệm kép.

a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.\].

Vậy với \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\].

Vậy với \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\] thì phương trình có nghiệm kép.

c) Để phương trình vô nghiệm thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 < 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m < - \frac{1}{4}\end{array} \right.\].

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m < - \frac{1}{4}\end{array} \right.\] thì phương trình vô nghiệm.

d) Để phương trình có đúng một nghiệm thì phương trình trở thành phương trình bậc nhất. Do đó, \[m - 2 = 0\], suy ra \[m = 2\].

Với \[m = 2\], ta có: \[6x + 2 = 0\] suy ra \[x = - \frac{1}{3}\].

Vậy với \[m = 2\] thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x = - \frac{1}{3}\].

e) Xét \[m - 2 = 0\] suy ra \[m = 2\].

Suy ra phương trình có đúng một nghiệm \[x = - \frac{1}{3}\].

Xét \[m - 2 \ne 0\], suy ra \[m \ne 2\].

Do đó, để phương trình có nghiệm thì \[\Delta ' \ge 0\] hay \[{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) \ge 0\], suy ra

\[m \ge - \frac{1}{4}\].

Do đó, \[m \ge - \frac{1}{4}\] thì phương trình có nghiệm.