Cho phương trình lượng giác sin x = m ( ∗ ) . Các mệnh đề sau Đúng hay Sai?

9/12

Cho phương trình lượng giác \({\rm{sin}}x = m\,\left( {\rm{*}} \right)\). Các mệnh đề sau Đúng hay Sai?

Với \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

ĐúngSai

Với \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì số nghiệm của phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là hai nghiệm.

ĐúngSai

Với \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) tương đương với phương trình \({\rm{sin}}x = {\rm{sin}}\frac{\pi }{4}\).

ĐúngSai

Với \(m = 1\) thì phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có tổng các nghiệm trong \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) bằng \(\frac{\pi }{2}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng. Khi \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), phương trình trở thành \({\rm{sin}}x = {\rm{sin}}\frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) hoặc \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Sai. Trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), hàm số \({\rm{sin}}x\) tăng nghiêm ngặt từ \( - 1\) đến \(1\). Do đó phương trình \({\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) chỉ có duy nhất một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4}\).

c) Đúng. Vì \({\rm{sin}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Đúng. Khi \(m = 1\), phương trình là \({\rm{sin}}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Xét khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\), chỉ có duy nhất nghiệm \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\). Tổng các nghiệm chính bằng \(\frac{\pi }{2}\).