Cho phương trình lượng giác 2 sin x = √ 2 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Sai) Phương trình tương đương \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\)

(Vì): Phương trình tương đương \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\) là đúng.

(Sai) Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \), \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

(Vì): Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \), \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\) là sai.

(Đúng) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)

(Vì): Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\) là đúng.

(Đúng) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là \(1\) nghiệm

(Vì): Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) hoặc \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Với \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \):

\( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi  < \frac{\pi }{2}\)

\( - \frac{1}{2} < \frac{1}{4} + 2k < \frac{1}{2}\)

\( - \frac{3}{4} < 2k < \frac{1}{4}\)

\( - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}\)

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Khi đó \(x = \frac{\pi }{4}\).

Với \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \):

\( - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi  < \frac{\pi }{2}\)

\( - \frac{1}{2} < \frac{3}{4} + 2k < \frac{1}{2}\)

\( - \frac{5}{4} < 2k <  - \frac{1}{4}\)

\( - \frac{5}{8} < k <  - \frac{1}{8}\)

Không có giá trị nguyên nào của \(k\) thỏa mãn.

Vậy trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình có \(1\) nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4}\).