Cho phương trình log 2 3 x + 3 m log 3 3 x + 2m^2 − 2 m − 1 = 0 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + x 2 ≥ 10

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x \Rightarrow x = {3^t}\). Khi đó phương trình đã cho trở thành:

\({t^2} + 3m\left( {1 + t} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 3mt + 2{m^2} + m - 1 = 0\) (*).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt \({t_1},{t_2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 4\left( {2{m^2} + m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 > 0 \Leftrightarrow {(m - 2)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Khi đó, \(\left( {\rm{*}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} =  - 2m + 1\) và \({t_2} =  - m - 1\).

Suy ra: \({x_1} + {x_2} = {3^{ - 2m + 1}} + {3^{ - m - 1}}\).

Ta có \({x_1} + {x_2} \ge \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow {3^{ - 2m + 1}} + {3^{ - m - 1}} \ge \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow {3^{ - m}} \ge 1 \Leftrightarrow m \le 0\).

Vì \(m\) là số tự nhiên nên \(S = \left\{ 0 \right\}\). Vậy tổng giá trị các phần tử của \(S\) là 0. Chọn C.