Cho phương trình bậc hai ẩn x : x^2 − ( m + 2 ) x + m = 0 (1) 1) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .

1) Ta có \[\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m = {m^2} + 4 \ge 4,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\].

Suy ra \[\Delta > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\].

Vậy phương trình \[\left( 1 \right)\] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

2) Thay \(x = \frac{{ - 3}}{2}\) vào phương trình (1) ta được:

\[{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right) + m = 0\].

Suy ra \[\frac{9}{4} + \frac{3}{2}m + 3 + m = 0\].

Do đó \[\frac{5}{2}m = - \frac{{21}}{4}\].

Vì vậy \[m = - \frac{{21}}{{10}}\].

Thay \[m = \frac{{ - 21}}{{10}}\]vào phương trình đã cho, ta được: \[{x^2} - \left( { - \frac{{21}}{{10}} + 2} \right)x - \frac{{21}}{{10}} = 0\].

Suy ra \[{x^2} + \frac{1}{{10}}x - \frac{{21}}{{10}} = 0\].

Áp dụng định lí Viète, ta có: \[S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - \frac{1}{{10}}.1 = - \frac{1}{{10}}\].

\[P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{{21}}{{10}}.1 = - \frac{{21}}{{10}}\].

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\].

\[ = {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^2} - 2.\left( { - \frac{{21}}{{10}}} \right) = \frac{{421}}{{100}}\].

Vậy tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình bằng \[\frac{{421}}{{100}}\].