Cho phương trình bậc hai (ẩn x ): x^2 + ( m + 2 ) x + 2 m = 0 ( ∗ ) (a) Biết phương trình có một nghiệm x = 3 . Tìm nghiệm còn lại.

a. Vì \(x = 3\) là một nghiệm của phương trình nên \(9 + \left( {m + 2} \right)\,\,.\,\,3 + 2m = 0\)

Suy ra \(9 + 3m + 6 + 2m = 0\)

Do đó \(5m = - 15\)

Vì vậy \(m = - 3\).

Theo định lí Viète, ta có: \(S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - \left( {m + 2} \right)}}{1} = - m - 2\)

\(P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{2m}}{1} = 2m\).

Thế \({x_1} = 3\) và \(m = - 3\) vào \(S\), ta được: \(3 + {x_2} = 3 - 2\)

Suy ra \({x_2} = - 2\).

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là \({x_2} = - 2\).

b. Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\,.\,1\,.\,2m\)

\[ = {m^2} + 4m + 4 - 8m\]

\[ = {m^2} - 4m + 4\]

\[ = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\], với mọi \[m\].

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \({x_1}\,,{x_2}\) với mọi \[m\].

Vì \({x_1} + {x_2} = - m - 2\) nên \(2{x_1} + 2{x_2} = - 2m - 4\) \(\left( 1 \right)\)

Theo đề, bài, ta có: \(2{x_1} + 3{x_2} = 1\) \(\left( 2 \right)\)

Lấy \(\left( 2 \right)\) trừ \(\left( 1 \right)\) vế theo vế, ta được: \({x_2} = 2m + 5\).

Thế \({x_2} = 2m + 5\) vào \({x_1} + {x_2} = - m - 2\), ta được: \({x_1} + 2m + 5 = - m - 2\) hay \({x_1} = - 3m - 7\)

Thay \({x_1} = - 3m - 7\) và \({x_2} = 2m + 5\) vào \({x_1}{x_2} = 2m\), ta được: \(\left( { - 3m - 7} \right)\left( {2m + 5} \right) = 2m\).

Suy ra \( - 6{m^2} - 29m - 35 = 2m\).

Vì vậy \(6{m^2} + 31m + 35 = 0\) (*)

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {31^2} - 4\,.\,6\,.\,35 = 121 > 0\).

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

\({m_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 31 + \sqrt {121} }}{{12}} = \frac{{ - 5}}{3}\); \({m_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 31 - \sqrt {121} }}{{12}} = \frac{{ - 7}}{2}\).

Vậy có hai giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = \frac{{ - 5}}{3}\) và \(m = \frac{{ - 7}}{2}\).