Cho phương trình a.sin^2 + 2sin2x + 3a. cos^2x = 2 với x là tham số

9/150

Cho phương trình \(a \cdot {\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a \cdot {\cos ^2}x = 2\) với là tham số. Giá trị nguyên lớn nhất của \(a\) để phương trình đã cho có nghiệm là

\(a = 3.\)

\(a = 2.\)

\(a = 1.\)

\[a = - 1.\]

Giải thích

Ta có \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\)

\( \Leftrightarrow a \cdot \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a \cdot \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2a\)\[\]

\( \Leftrightarrow a - a \cdot \cos 2x + 4\sin 2x + 3a + 3a \cdot \cos 2x = 4\)

\( \Leftrightarrow 4\sin 2x + 2a\cos 2x = 4 - 4a{\rm{ }}\,{\rm{(*) }}\)

\((*)\) có nghiệm khi \({4^2} + {\left( {2a} \right)^2} \ge {\left( {4 - 4a} \right)^2} \Leftrightarrow 12{a^2} - 32a \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}.\)

Do \(a \in \mathbb{Z}\) và là số lớn nhất nên \(a = 2.\)Chọn B.