Cho phương trình 5x^2 − 2x − m = 0 với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức P = căn bậc hai của (m + 2x1 − x1^2) + căn bậ

Cho phương trình \(5{x^2} - 2x - m = 0\) (1).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta \prime  > 0,\) tức là \(\Delta \prime  = {\left( { - 1} \right)^2} - 5 \cdot \left( { - m} \right) = 1 + 5m > 0\) nên \(m >  - \frac{1}{5}\).

Theo định lý Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{2}{5}\\{x_1}{x_2} =  - \frac{m}{5}.\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1), nên \(5x_1^2 - 2{x_1} - m = 0\), suy ra \(m = 5x_1^2 - 2{x_1}\).

Thay biểu thức của \(m\) vừa tìm được vào biểu thức dưới dấu căn thứ nhất, ta có:

\(m + 2{x_1} - x_1^2 = \left( {5x_1^2 - 2{x_1}} \right) + 2{x_1} - x_1^2 = 4x_1^2\).

Tương tự, với \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (1), ta cũng thay vào biểu thức dưới dấu căn thứ hai và được: \(m + 2{x_2} - x_2^2 = 4x_2^2\).

Lúc này, biểu thức \(P\) được rút gọn thành:

\[P = \sqrt {4x_1^2}  + \sqrt {4x_2^2}  = 2\left| {{x_1}} \right| + 2\left| {{x_2}} \right| = 2\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right) \ge 2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = 2 \cdot \left| {\frac{2}{5}} \right| = \frac{4}{5}.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) cùng dấu hoặc có ít nhất một nghiệm bằng 0, hay tích hai nghiệm phải lớn hơn hoặc bằng 0, tức là \({x_1}{x_2} \ge 0\) nên \( - \frac{m}{5} \ge 0\), suy ra \(m \le 0\).

Kết hợp với điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(m >  - \frac{1}{5}\), ta có: \( - \frac{1}{5} < m \le 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \(\frac{4}{5}\), đạt được khi \(m\) thỏa mãn điều kiện \( - \frac{1}{5} < m \le 0\).