Cho phương trình 4 ( sin^4 x + cos^4 x ) − 8 ( sin^6 x + cos^6 x ) − 4 sin^2 (4x) = trong đó m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?

18/19

Cho phương trình \(4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m\) trong đó \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

\(\begin{array}{*{20}{l}}{4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{{\sin }^2}4x = m}\\{ \Leftrightarrow 4\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right) - 8\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right) - 4\left( {1 - {{\cos }^4}4x} \right) = m}\\{ \Leftrightarrow 4{{\cos }^2}4x + 4{{\sin }^2}2x - 8 - m = 0}\\{ \Leftrightarrow 4{{\cos }^2}4x - 2\cos 4x - 6 - m = 0.(1)}\end{array}\)\tagEX{(1)}

Đặt \(t = \cos 4x \Rightarrow t \in [ - 1;1]\).

\((1)\)trở thành \(4{t^2} - 2t - 6 - m = 0(2)\) có \(\Delta ' = 25 + 4m\).

\((1)\)có nghiệm \( \Leftrightarrow (2)\) có nghiệm thỏa \(t \in [ - 1;1]\).

Nếu \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{{25}}{4}\), \((2)\) có nghiệm kép \(t = \frac{1}{4} \in [ - 1;1]\) nên nhận \(m = - \frac{{25}}{4}\).

Nếu \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{{25}}{4}\), khi đó \((2)\) phải có \(2\) nghiệm phân biệt thỏa

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le {t_1} \le 1}\\{ - 1 \le {t_2} \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le \frac{{1 - \sqrt {25 + 4m} }}{4} \le 1(a)}\\{ - 1 \le \frac{{1 + \sqrt {25 + 4m} }}{4} \le 1(b).}\end{array}} \right.\)

Giải \((a)\): \((a) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - \sqrt {25 + 4m} \ge - 4}\\{1 - \sqrt {25 + 4m} \le 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {25 + 4m} \le 5}\\{\sqrt {25 + 4m} \ge - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge - \frac{{25}}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{{25}}{4} \le m \le 0\).

Giải \((b)\): \((b) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + \sqrt {25 + 4m} \ge - 4}\\{1 + \sqrt {25 + 4m} \le 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {25 + 4m} \ge - 5}\\{\sqrt {25 + 4m} \le 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{25 + 4m \ge 0}\\{25 + 4m \le 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{{25}}{4} \le m \le - 4\).

Kết hợp lại, \((1)\) có nghiệm khi \( - \frac{{25}}{4} \le m \le 0\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0\} \).

Vậy có \(7\) giá trị nguyên \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.