Cho phương trình 3x^2−7x−4=0. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình, hãy tính. (a) A=|x1−x2|.

Ta có: \(a = 3\,;\,\,b = - 7\,;\,\,c = - 4\) nên \(ac = - 12 < 0.\)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{7}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}.\end{array} \right.\]

a) Ta có \({A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

\( = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9}\;.\)

Vậy \(A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}.\)

b) Ta có \(B = \frac{{x_1^2 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^3} - 3 \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) \cdot \frac{7}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{3}}} = - \frac{{595}}{{36}}{\rm{.\;}}\)

Vậy \(B = \frac{{x_1^2 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = - \frac{{595}}{{36}}{\rm{.\;}}\)