Cho phương trình : 2(x^2) - 5x - 7 = 0. a) Chứng minh phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức A =x1 ((x1)^2 + 2022) - x2(- (x2)^2 - 202

a) Xét phương trình \(2{x^2} - 5x - 7 = 0\) (có \[a = 2\,;\,\,b =  - 5\,;\,\,c =  - 7\])

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 7} \right) = 25 + 56 = 81 > 0\)

Do đó phương trình này có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{5}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 7}}{2}\end{array} \right.\)

\(A = {x_1}\left( {{x_1}^2 + 2022} \right) - {x_2}\left( { - {x_2}^2 - 2023} \right) - {x_2}\)

\( = \left( {{x_1}^3 + {x_2}^3} \right) + 2022{x_1} + 2023{x_2} - {x_2}\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2022\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{5}{2};{x_1}{x_2} = \frac{{ - 7}}{2}\),ta được:\(A = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^3} - 3.\frac{5}{2}.\left( {\frac{{ - 7}}{2}} \right) + 2022.\frac{5}{2} = \frac{{125}}{8} + \frac{{105}}{4} + 5055 = \frac{{40\,\,775}}{8}\).