Cho phương trình 2x^2 - 5x + 1 = 0.

1) Phương trình \[2{x^2} - 5x + 1 = 0\] có \[a = 2\,;\,\,b =  - 5\,;\,\,c = 1\] nên ta có:

\[\Delta \; = \;{\left( { - 5} \right)^2} - \;4 \cdot 2 \cdot 1 = \;25 - \;8 = \;17 > \;0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2) Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{5}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Ta có: \[A = {x_1}\left( {{x_1} + 2024} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}\]

\[ = x_1^2 + 2024{x_1} + x_2^2 + 2025{x_2} - {x_2}\]

\[ = x_1^2 + 2024{x_1} + x_2^2 + 2024{x_2}\]

\[ = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} + \left( {2024{x_1} + 2024{x_2}} \right)\]

\[ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2024\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]

\[ = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2024 \cdot \frac{5}{2}\]

\[ = \frac{{25}}{4} - 1 + 5060 = \frac{{20\,\,261}}{4}\].

Vậy \[A = \frac{{20\,\,261}}{4}\].