Cho phương trình 2x^2 + 4x − 1 = 0 .

a. Ta có các hệ số \(a = 2;b = 4;c =  - 1\).

Biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.2.( - 1) = 16 + 8 = 24 > 0\).

Vì \(\Delta  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Theo định lý Viète, ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2;\,\,\,{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Ta có \(P = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Vì \({x_2}\)là nghiệm của phương trình nên ta có \(2{x_2}^2 + 4{x_2} - 1 = 0\)

Suy ra \(2{x_2}^2 = 1 - 4{x_2}\)

Hay \({x_2}^2 = \frac{{1 - 4{x_2}}}{2} = \frac{1}{2} - 2{x_2}\)

Thay vào biểu thức ta có \(P = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2{x_2} - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Thay \({x_1} + {x_2} =  - 2\) và  \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\)ta có \(P = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2.( - 2)}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} =  - 9\)

Vậy giá trị của biểu thức là \( - 9\).