Cho phương trình 2 x 2 + ( 2 m − 1 ) x + m − 1 = 0 với m là tham số, m ≠ 3 2 . a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn. b) Phương trình luôn có hai nghiệm

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

Xét phương trình \(2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số.

⦁ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn \(x\) có \(a = 2 \ne 0\,;\,\,b = 2m - 1\,;\,\,c = m - 1.\) Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình có biệt thức \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right) = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\) nên phương trình luôn có nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m \ne \frac{3}{2}.\) Do đó ý b) là đúng.

⦁ Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{2m - 1}}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}.\) Do đó ý c) là sai.

⦁ Ta có \(4x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + 4x_2^2 = 1\) suy ra \(4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2} = 1\).

Suy ra \({\left( {1 - 2m} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) = 1\) nên \(4{m^2} - 7m + 3 = 0\).

Phương trình này có tổng các hệ số \(a + b + c = 4 + ( - 7) + 3 = 0\) nên phương trình này có các nghiệm \({m_1} = 1\,,\,\,{m_2} = \frac{3}{4}\).

Vậy có hai giá trị cần tìm của \(m\) là \({m_1} = 1\,,\,\,{m_2} = \frac{3}{4}\). Do đó ý d) là sai.