Cho parabol (P) : y = x^2 và đường thẳng (d) : y = 4x -m -1
1) Với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) có dạng \(y = 4x - 3.\)
Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right),\) khi đó ta có:
\({y_0} = x_0^2\) và \({y_0} = 4{x_0} - 3.\)
Suy ra \(x_0^2 = 4{x_0} - 3\) hay \(x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 0.\)
Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và\(\left( d \right)\) là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên phương trình trên có hai nghiệm là \({x_0} = 1;\,\,{x_0} = 3.\)
⦁ Với \({x_0} = 1\) thay vào \({y_0} = x_0^2,\) ta có \({y_0} = {1^2} = 1.\) Suy ra \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
⦁ Với \({x_0} = 3\) thay vào \({y_0} = x_0^2,\) ta có \({y_0} = {3^2} = 9.\) Suy ra \(B\left( {3;\,\,9} \right).\)
Vậy với \(m = 2\) thì toạ độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(A\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,9} \right).\)
2) Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right),\) khi đó ta có:
\({y_0} = x_0^2\) và \({y_0} = 4{x_0} - m - 1.\)
Suy ra \(x_0^2 = 4{x_0} - m - 1\) hay \(x_0^2 - 4{x_0} + m + 1 = 0.\)
Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và\(\left( d \right)\) là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - 4{x_0} + m + 1 = 0.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) = 3 - m.\)
Để\(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 2 điểm phân biệt hoành độ là \({x_1},\,\,{x_2}\)thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\) tức là \(\Delta ' > 0,\) suy ra \(3 - m > 0\) nên \(m < 3.\)
Với \(m < 3,\) áp dụng Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1} \cdot {x_2} = m + 1.}\end{array}} \right.\)
Để \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra nên \(m > - 1.\)
Kết hợp điều kiện \(m < 3,\) ta được \[ - 1 < m < 3.\]
Chứng minh bổ đề: Cho tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là \(a,\) độ dài hai cạnh góc vuông là \(b,\,\,c\) và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh đến cạnh huyền bằng \(a.\) Khi đó: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\)
Theo định lí Pythagore, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) nên \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}{c^2}}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{b^2}{c^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}.\) Vậy \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\) |
Áp dụng hệ thức đã chứng minh ở bổ đề trên, khi độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\) thì ta có:
\(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} = 5\) nên \(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 5\)
Suy ra \(x_1^2 + x_2^2 = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)
\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)
Do đó, ta có: \({4^2} - 2\left( {m + 1} \right) = 5{\left( {m + 1} \right)^2}\)
\(5{m^2} + 12m - 9 = 0\)
\(m = - 3\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = \frac{3}{5}\) (thỏa mãn).
Vậy với \(m = \frac{3}{5}\) thoả mãn bài toán.