Cho parabol (P): y = x^2 và đường thẳng (d): y = 3mx + 1 - m^2 (m là tham số).(a) Tìm m để (d) đi qua điểm A(1; - 9)

a) Thay \[x = 1,y = - 9\] vào \[\left( d \right)\], ta được: \[ - 9 = 3m + 1 - {m^2}\] hay \[{m^2} - 3m - 10 = 0\].

Suy ra \[\left( {m + 2} \right)\left( {m + 5} \right) = 0\].

Do đó, \[m = - 2\] hoặc \[m = - 5\].

Vậy \[m = - 2\] hoặc \[m = - 5\] thì \[\left( d \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1; - 9} \right)\].

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

\[{x^2} = 3mx + 1 - {m^2}\]

\[{x^2} - 3mx - 1 + {m^2} = 0\] (1)

Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \[\Delta = 9{m^2} - 4{m^2} + 4 = 5{m^2} + 4 > 0\] với mọi \[m\].

Do đó \[\left( d \right)\] luôn cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\].

Ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\]

Suy ra \[3m = 2\left( {{m^2} - 1} \right)\], suy ra \[2{m^2} - 3m - 2 = 0\] hay \[\left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\].

Do đó, \[m = 2\] hoặc \[m = - \frac{1}{2}\].