Cho parabol (P) y = 1/2 x^2 và đường thẳng

1) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Bảng giá trị:

\(x\)   \( - 2\)\( - 1\)0        1        2

\(y = \frac{1}{2}{x^2}\)2        \(\frac{1}{2}\)       0        \(\frac{1}{2}\)          2

          Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol nhận \[Oy\] làm trục đối xứng, có đỉnh \(O\left( {0\,;\,\,0} \right),\) bề lõm hướng lên và đi qua các điểm \[\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\]\(\left( { - 2\,;\,\,2} \right),\,\,\left( {2\,;\,\,2} \right).\)

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0\,;\,\,0} \right);\,\,A\left( { - 2\,;\,\,2} \right);\,\,B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right);\)\(C\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right);\,\,D\left( {2;\,\,2} \right).\)

Hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên parabol có bề cong hướng lên, đồ thị hàm số nhận \[Oy\] làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} = - mx + 3\) hay \(\frac{1}{2}{x^2} + mx - 3 = 0.\)

Xét \(\Delta = {m^2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( { - 3} \right) = {m^2} + 6 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - m}}{{\frac{1}{2}}} = - 2m}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - 3}}{{\frac{1}{2}}} = - 6}\end{array}} \right.\).

Khi đó \({x_1}\left( {x_2^2 - 6} \right) = 24\) hay \({x_1}\left( {x_2^2 + {x_1}{x_2}} \right) = 24\) nên \({x_1}{x_2}\left( {{x_2} + {x_1}} \right) = 24\)

Suy ra \( - 6 \cdot \left( { - 2m} \right) = 24\), suy ra \(12m = 24\) hay \(m = 2\).

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.