Cho parabol \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \frac{x}{2} - 1\). a) Trong các điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có: \( - \frac{1}{2}{x^2} = \frac{x}{2} - 1\)
Suy ra \( - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{x}{2} + 1 = 0\) hay \({x^2} + x - 2 = 0\) nên \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)
Suy ra \(x = - 2\) hoặc \(x = 1\).
• Với \(x = - 2\) thì \(y = - 2\), suy ra \(A\left( { - 2; - 2} \right)\).
• Với \(x = 1\) thì \(y = - \frac{1}{2}\), suy ra \(B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).
Vậy điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) là điểm thuộc cả \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).
b) Gọi điểm cần tìm là \(I\left( {3{y_0};{y_0}} \right)\), thay vào \(\left( P \right)\), ta có: \({y_0} = - \frac{1}{2}{\left( {3{y_0}} \right)^2}\) hay \({y_0} = - \frac{9}{2}{y_0}^2.\)
Suy ra \(\frac{{{y_0}}}{{{y_0}^2}} = - \frac{9}{2}\) hay \(\frac{1}{{{y_0}}} = - \frac{9}{2}\) nên \({y_0} = - \frac{2}{9}\), do đó \({x_0} = 3{y_0} = \frac{{ - 2}}{3}.\)
Vậy điểm cần tìm là \(I\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 2}}{9}} \right)\).
c) Ta có bảng giá trị của \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\( - \frac{1}{2}{x^2}\) | \( - 2\) | \( - \frac{1}{2}\) | \(0\) | \( - \frac{1}{2}\) | \( - 2\) |
Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right);\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {0;0} \right);\) \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {2; - 2} \right)\).
Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).
Do đó, ta có đồ thị như sau:
