Cho p,q là hai số nguyên tố thỏa mãn: p^2- 2q^2 = 1. Tìm hai số nguyên tố p.q

Ta có: \({p^2} - 2{q^2} = 1\)

\({p^2} - 1 = 2{q^2}\)

\(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 2{q^2}\)

Do \(2{q^2} \vdots 2\) nên \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 2\)

Suy ra \(p\) là số lẻ.

Do đó \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 4,\) nên \(2{q^2} \vdots 4\) từ đó ta có \(q\) là số nguyên tố chẵn, hay \(q = 2.\)

Với \(q = 2\) ta có \({p^2} - 2 \cdot {2^2} = 1\) nên \(p = 3.\)

Vậy \[\left( {p;q} \right) = \left( {3;2} \right).\]