Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho p.

Gọi số có dạng 

a_n = 11...1 có n chữ số 1

Xét dãy p số a₁, a₂, a₃,.., a_p

Nếu tồn tại 1 trong p số trên chia hết cho p thì ta có điều phải chứng minh

Nếu không tồn tại số nào chia hết cho p:

⇒ Khi chia p số trên cho p ta được p – 1 số dư

⇒ Tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư

Giả sử 2 số đó là a_m, a_n, m > n

⇒ a_m−a_n ⋮ p

⇒ 11...1000...0 ⋮ p có m – n chữ số 1, n chữ số 0

⇒11...1 . 10ⁿ ⋮ p

Vì p > 5 ⇒10ⁿ không chia hết cho p

⇒ 11...1 ⋮ p.