Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O')

Xét ∆MAN vuông tại A có:  AMN^+ANM^= 90° (1)

Và MAO^+NAO'^= 90° = 180° − MAO^ = 180° − 90° = 90° (2)

Lại có: ∆OMA cân tại O (OA = OM = R) ⇒ OAM^=OMA^ (3)

∆O’NA cân tại O (O’A = O’N = R’) ⇒ O'AN^=O'NA^ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: OMN^+MNO'^=OMA^+AMN^+ANM^+O'NA^

= OMA^+AMN^+ANM^+O'NA^

= OMA^+AMN^+ANM^+O'AN^

= OMA^+O'AN^+AMN^+ANM^

= 90° + 90° = 180°

Tứ giác OMNO’ có OMN^+MNO'^=180°nên MN // O’N.

b) Từ O’ kẻ O’H ⊥ OM. Khi đó: SOMNO'=O'N+OM.O'H2=R'+R.O'H2≤R'+R.O'O2=R'+R22

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O’H = O’O hay H ≡ O ⇒ O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N

Vậy tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất là R'+R22  khi O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N.