Cho (O; R) và (O; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN

a) Ta có : \(\widehat {MOA} = {\widehat O_1}\left( { = {{180}^{\rm{o}}} - 2{{\widehat A}_1}} \right)\)

Þ O’N // OM.

Gọi P là giao điểm của MN và OO’.

Ta có : \(\frac{{O'P}}{{OP}} = \frac{{O'N}}{{OM}} = \frac{{R'}}{R}\)

Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’, ta có:

\(\frac{{O'P'}}{{OP'}} = \frac{{O'C}}{{OB}} = \frac{{R'}}{R}\)

Suy ra P’ ≡ P.

b) Gọi H là hình chiếu của O' trên OM

Tứ giác MNO'O là hình thang nên \(S = \frac{{\left( {OM + O'N} \right)O'H}}{2}\)

\(S = \frac{{R + R'}}{2} \cdot O'H \le \frac{{R + R'}}{2}.OO' = \frac{{{{\left( {R + R'} \right)}^2}}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(H \equiv O \Leftrightarrow OM \bot OO'\)

Vậy để diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất thì OM ⊥ OO’.