Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với

Lời giải

a) Xét (O; R) có AB là 2 tiếp tuyến tại điểm B

Suy ra AB ⊥ OB hay tam giác OAB vuông tại B

Ta có AB ⊥ OB, OK ⊥ OB

Nên AB // OK

Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc so le trong)

Xét (O;R) có AB , AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A

Suy ra AO là tia phân giác của góc BAC, AC = AB

Do đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)

Mà \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên)

Nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_1}}\)

Suy ra tam giác OAK cân tại K

b) Vì I thuộc (O; R) nên OI = R

Mà OA = 2R (giả thiết)

Suy ra IA = OI = R

Do đó I là trung điểm của OA

Xét tam giác OAK cân tại K có KI là đường trung tuyến

Suy ra KI là đường cao

Nên KI ⊥ OA

Hay KM ⊥ OA

Suy ra KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Vì tam giác OAB vuông tại O nên OA² = OB² + AB² (định lý Pytago)

Hay AB² = OA² – OB² = (2R)² – R² = 3R²

Suy ra \(AB = R\sqrt 3 \)

Xét (O;R) có KC, KI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại K

Nên KI = KC

Xét (O;R) có MB, MI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MI = MB

Chu vi tam giác MKA là:

MK + MA + AK

= MI + IK + MA + AK

= MB + CK + MA + AK

= (MB + MA) +  (MB + MA)

= AB + AC

\[ = 2AB = 2R\sqrt 3 \].

Vậy chu vi tam giác AKM bằng \[2R\sqrt 3 \].