Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với

Lời giải

a) AB là đường tiếp tuyến của đường tròn (O)

Þ OB ^ BA Þ ∆OBA vuông tại B.

Ta có:  AB ^ OB (1)

OK ^ OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB // OK

Þ \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_2}}\) (so le trong).

Mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{A_1}}\).

Vậy ∆OKA cân tại K.

b) Ta có: KM và (O) có điểm chung là I (3)

Mặt khác: OI = R, OA = 2R Þ IA = R

Þ KI là trung tuyến của ∆OKA

Mà ∆OKA cân tại K (cmt)

Þ KI ^ OA hay KM ^ OI (4)

Từ (3) và (4) Þ KM là tiếp tuyến của (O).

c) ∆AMK cân tại A (AI vừa là đường cao vừa là đường phân giác)

Þ AM = AK

\[\sin \widehat {{A_2}} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {{A_2}} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MAK} = 60^\circ \].

Khi đó, ∆AMK là tam giác đều\( \Rightarrow AI = \frac{{MK\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MK = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\).

Do đó, chu vi ∆AMK là: \(3MK = 3.\frac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = 2R\sqrt 3 \).