Cho (O) đường kính AB, M ∈ (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) tại C và D và (I) đường kính CD. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I).

Lời giải

Vì CA ⊥ AB, BD ⊥ AB nên CA // BD

Suy ra ACDB là hình thang

Lại có \(\widehat {CAB} = 90^\circ \) nên ACDB là hình thang vuông

Đường tròn tâm I đường kín CD nên I là trung điểm của CD

Xét hình thang vuông ACDB có I là trung điểm của CD, O là trung điểm của AB

Suy ra IO là đường trung bình của hình thang

Do đó IO // CA

Mà CA ⊥ AB suy ra IO ⊥ AB                                  (1)

Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Suy ra OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Suy ra tam giác COD vuông tại O

Mà OI là đường trung tuyến

Do đó OI = \(\frac{1}{2}\) CD

Suy ra O thuộc (I) đường kính CD                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (I).