Cho nửa đường tròn tâm O đường kính . Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn

Ta có: 2.AM + AN = 4AC + AN (vì C là trung điểm của AM).

4AC.AN = 4AO.AB = 4R.2R = 8R2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

4AC + AN ³24AC.AN=28R2=42R

Þ Tổng 2.AM + AN nhỏ nhất = Û 4AC = AN

Û AN = 2AM Û M là trung điểm của AN.

DABN vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên AM = MB

ÞAM⏜=BM⏜Þ M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB

Vậy với M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB thì (2.AM + AN) nhỏ nhất =42R .