Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O).
6/8
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24). Chứng minh:
a) MN ⊥AB;
b) MN=NH.
a) Do Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên Ax ⊥ AB, By ⊥ AB, suy ra Ax // By.
Đường tròn (O) có:
⦁ hai tiếp tuyến Ax, CD cắt nhau tại C nên CA = CM;
⦁ hai tiếp tuyến By, CD cắt nhau tại D nên DB = DM.
Xét ∆ANC có AC // BD nên NAND=CADB (hệ quả định lí Thalès) suy ra NAND=CMDM
Do đó MN // AC (định lí Thalès đảo) hay MN // Ax
Mà Ax ⊥AB nên MN ⊥AB.
b) Xét ∆ACD có MN // AC nên MNAC=DNDA (hệ quả của định lí Thalès).
Xét ∆ANC có AC // BD nên DNNA=BNNC (hệ quả của định lí Thalès).
Suy ra DNDN+NA=BNBN+NC (tính chất tỉ lệ thức) hay DNDA=BNBC
Xét ∆ABC có NH // AC nên BNBC=NHAC (hệ quả của định lí Thalès).
Do đó, ta có: MNAC=DNDA=BNBC=NHAC
Vậy MN=NH.