Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C

Lời giải

a) Theo bài ra ta có:AB là đường kính của đường tròn tâm O.

Suy ra AM⊥MB nên \(\widehat {DMA} = \widehat {DCA} = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.

Ta lại có: \(\widehat {BCK} = \widehat {BMK} = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn.

b) Xét ∆CKA và ∆CBD có:

\(\widehat {BCK} = \widehat {BMK} = 90^\circ \)

\(\widehat {KAC} = \widehat {MAC} = \widehat {MDC} = \widehat {BDC}\)

Do đó ∆CKAᔕ ∆CBD (g.g).

Suy ra \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{KC}}{{BC}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó AD. BC = KC. DC (đpcm).