Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB = 2R.$ Từ $A$ và $B$ lần lượt kẻ hai tiếp tuyến

4/7

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB = 2R.$ Từ $A$ và $B$ lần lượt kẻ hai tiếp tuyến $Au,\,\,Bv$ với nửa đường tròn. Qua một điểm $C$ thuộc nửa đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt $Au$ và $Bv$ theo thứ tự ở $M$ và $N.$

a) Chứng minh tứ giác $AMCO$ nội tiếp đường tròn và $\widehat {CBO} = \widehat {CNO}.$

b) Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H,$ gọi $K$ là giao điểm của $CH$ với $AN.$ Chứng minh ba điểm$M,\,K,\,B$ thẳng hàng.

c) Gọi $S$ là diện tích của tam giác $ABC,$${S_1}$ là diện tích của tam giác $MON.$ Hãy tính tỉ số $\frac{{{S_1}}}{S}$ khi $AM = 1,5\,R.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB = 2R.$ Từ $A$ và $B$ lần lượt kẻ hai tiếp tuyến (ảnh 1)$

a) Tứ giác $AMCO$ có :

$\widehat {MAO} = {90^{\rm{o}}};$$\widehat {MCO} = {90^{\rm{o}}}$

$\widehat {MAO} + \widehat {MCO} = {180^{\rm{o}}}$

Vậy tứ giác $AMCO$ nội tiếp đường tròn.

Tương tự ta có tứ giác $COBN$ nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {CBO} = \widehat {CNO}$

b)Ta có: $CK//AM$ nên $\frac{{KN}}{{KA}} = \frac{{CN}}{{CM}}$

Mà $MC = MA,\,\,NC = NB$ nên $\frac{{KN}}{{KA}} = \frac{{NB}}{{MA}}\,\,\left( 1 \right)$

Ta lại có$\widehat {MAK} = \widehat {ANB}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta được $\Delta AKM$ഗ$\Delta NKB$

$ \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {NKB}$

Mà $A,\,K,\,N$ thẳng hàng nên $M,\,K,\,B$ thẳng hàng (đpcm).

c) Ta có $\Delta MON$ഗ$\Delta ACB$ nên tam giác $MON$ vuông tại O, cho ta: $O{C^2} = CM.CN \Rightarrow CN = \frac{2}{3}R$ ; $MN = MC + CN = \frac{{13}}{6}R$

$\frac{{{S_1}}}{S} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}.$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Long An có đáp án

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\) và \(B\) lần lượt kẻ hai tiếp tuyến