Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB . Vẽ dây MN = R (điểm M ở trên cung AN ).

Phần thuận: Tam giác MON đều (vì OM=ON=MN=R).⇒MON^=60°⇒sđMN⏜=60°⇒sđAM⏜+sđNB⏜=180°−60°=120°⇒NIB^=12sđAM⏜+sđNB⏜=60°

Ta có: AIB^=180°−NIB^=120° (hai góc kề bù).

Do AB cố định nên quỹ tích điểm I là cung chứa góc 120° dựng trên đoạn AB.

Phần đảo: Trên cung chứa góc 120° dựng trên đoạn AB, lấy điểm I'. AI' và BI' lần lượt cắt nửa đường tròn (O) tại N' và M'. Khi đó AI'B^=120°⇒BI'N'^=60°⇒M'ON'^=60°.

Suy ra tam giác M'O'N' đều. Do đó M'N' = R.

Vậy I' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là cung chứa góc 120∘ dựng trên đoạn AB.