Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi

Kẻ DD’ ⊥ d (D’ ∈ d)

Ta có: OC // d (do cùng vuông góc với AB)

⇒\(\widehat {DFD'} = \widehat {BDO}\)

Xét \(\Delta D'DF\) và \(\Delta OBD\) có:

\(\widehat {FD'D} = \widehat {DOB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

D’D = OB \(\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\)

\(\widehat {DFD'} = \widehat {BDO}\)

⇒\(\Delta D'DF = \Delta OBD\left( {g.c.g} \right)\)

⇒ DB = DF (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta DKB\) và \(\Delta DEF\) có:

\(\widehat {KDB} = \widehat {EDF}\)(đối đỉnh)

DB = DF (cmt)

\(\widehat {KBD} = \widehat {EFD}\) (góc so le trong do BK // d)

Do đó \(\Delta DKB = \Delta DEF\left( {g.c.g} \right)\)

⇒ BK = EF (2 cạnh tương ứng)(đpcm).