Cho nửa đường tròn ( O ; R ) đường kính A B . Vẽ các tia tiếp tuyến A x , B y với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tia A x , điểm N di động trên tia B y sao cho A M ⋅ B

Đáp án đúng là: C

⦁ Kẻ \[OH \bot MN\] tại \[H.\]

Vì \[AM \cdot BN = {R^2} = AO \cdot BO\] nên \[\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}.\]

Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta BNO,\] có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {OBN} = 90^\circ \] (vì \[AM,BN\] là các tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]);

\[\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}\] (chứng minh trên).

Do đó (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}};\] \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{N_1}}\] và \[\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{OM}}{{ON}}\] hay \[\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{BO}}{{ON}}.\]

Vì tam giác \[AOM\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat {{M_1}} + \widehat {{O_1}} = 90^\circ .\] Suy ra \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ .\]

Ta có \[\widehat {AOB} = 180^\circ \] hay \[\widehat {{O_1}} + \widehat {MON} + \widehat {{O_2}} = 180^\circ .\]

Tức là, \[\widehat {MON} = 180^\circ - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\] Do đó (ii) là nhận định đúng.

⦁ Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta ONM,\] có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {MON} = 90^\circ ;\]

\[\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{AO}}{{ON}}\] (do \[\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{BO}}{{ON}},\,\,AO = BO).\]

Do đó (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}.\]

Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta HOM,\] có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {OHM} = 90^\circ ;\] \[OM\] là cạnh chung; \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\]

Do đó \[\Delta AOM = \Delta HOM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[OA = OH,\] mà \(OA = R\) nên \(OH = R\).

Vì \[OH = R\] và \[OH \bot MN\] tại \[H\] nên \[MN\] là tiếp tuyến của đường tròn \(H.\)

Do đó (i) là nhận định đúng.

Vậy ta chọn phương án C.