Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB . Vẽ tia tiếp tuyến Ax củng phía với nửa đường tròn đường kính AB . Lấy một điểm M trên tia Ax ( M ≠ A ) . Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trò

12/21

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Vẽ tia tiếp tuyến $Ax$ củng phía với nửa đường tròn đường kính $AB$. Lấy một điểm $M$ trên tia $Ax(M \ne A)$. Vẽ tiếp tuyến $MC$ với nửa đường tròn $(O)$ ( $C$ là tiếp điểm). Vẽ $AC$ cắt $OM$ tại $E$, Vẽ $MB$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $D(D \ne B)$.

a) Chứng minh : Tứ giác $AMDE$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh: $M{A^2} = MD \cdot MB$.

c) Vẽ $CH$ vuông góc với $AB(H \in AB)$. Chứng minh rằng $MB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $CH$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Vẽ (ảnh 1)$

a) Chứng minh: Tứ giác AMDE nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có: $OA = OC \Rightarrow O$ thuộc trung trực của $AC$.

$MA = MC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau$) \Rightarrow M$ thuộc trung trực của $AC$.

$ \Rightarrow OM$ là trung trực của $AC \Rightarrow OM \bot AC$ tại $E \Rightarrow \widehat {AEM} = 90^\circ $.

Ta có $\widehat {ADB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $ \Rightarrow \widehat {ADM} = 90^\circ $.

Xét tứ giác $AMDE$ có $\widehat {AEM} = \widehat {ADM} = 90^\circ (cmt) \Rightarrow AMDE$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

$AM$ (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn $AM$ dưới một góc $\left. {90^\circ } \right)$.

b) Chứng minh $M{A^2} = MD,MB$.

Xét $\Delta MAD$ và $\Delta MBA$ có:

$\widehat {AMB}$ chung;

$\widehat {MDA} = \widehat {MAB} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta MAD\~\Delta MBA(g.g) \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MA}}(2$ cạnh tương ứng $) \Rightarrow M{A^2} = MD.MB.$

c) Vẽ $CH$ vuông góc với $AB(H \in AB).$ Chứng minh rằng $MB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $CH$.

Gọi $MB \cap CH = \{ N\} $.

Vì $AEDM$ là tứ giác nội tiếp (cmt) nên $\widehat {DEC} = \widehat {AMD}$ (góc ngoài và góc trong tại đinh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà $\widehat {AMD} = \widehat {DAB}$ (cùng phụ với $\widehat {MAD}$ ) nên $\widehat {DEC} = \widehat {DAB}$ (1).

Ta có $\widehat {DNC} = \widehat {BNH}$ (đối đinh), mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {BNH} + \widehat {NBH} = 90^\circ }\\{\widehat {DAB} + \widehat {NBH} = 90^\circ }\end{array} \Rightarrow \widehat {BNH} = \widehat {DAB} \Rightarrow \widehat {DNC} = \widehat {DAB}} \right.$ (2).

Từ (1) và $(2) \Rightarrow \widehat {DEC} = \widehat {DNC}$.

$ \Rightarrow DENC$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

$ \Rightarrow \widehat {DNE} = \widehat {DCE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $DE$).

Mà $\widehat {DCE} = \widehat {DCA} = \widehat {DBA}$ ( 2 góc nội tiểp cùng chắn cung $DA$ ).

$ \Rightarrow \widehat {DNE} = \widehat {DBA}$. Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc đồng vị nên $EN//AB$ hay $EN//AH$.

Lại có: $E$ là trung điểm của $AC$ (do $OM$ là trung trực của $AC,OM \cap AC = \{ E\} $ ).

$ \Rightarrow N$ là trung điểm của $CH$ (định lí đường trung bình trong tam giác $ACH$ ).

Vậy $MB$ đi qua $N$ là trung điểm của $CH$ (đpcm).