Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D

a)

Phần thuận: Ta có ACB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒BCD^=90°, mà CD=CB (giả thiết).

Suy ra ΔBCD vuông cân tại C.

⇒CDB^=45° hay ADB^=45°.

Mặt khác AB cố định. Do đó khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.

- Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm thuộc quỹ tích.

- Dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng với B' là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45° vẽ trên AB.

Phần đảo: Lấy điểm D' tùy ý trên cung BB', nối AD' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BC', B'D'.

Ta có: AD'B^=45° (vì D nằm trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn AB).

Trong đường tròn đường kính AB ta có: AC'B^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒BC'D'^=90°⇒ΔBC'D' vuông cân tại C'⇒C'B=C'D'.

Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung BB'⏜ nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.